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New PDF release: Algebraische Strukturen [Lecture notes]

By Thomas Keilen

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N}. Wir k¨onnen also Zahlen a11 , . . , at1 ∈ {1, . . , n} so w¨ahlen, daß t {1, . . , n} = · ai1 . i=1 Setzen wir nun ki = |ai1 | und aij = σj−1 (ai1 ), dann gilt wegen (21) t {1, . . , n} = · (22) {ai1 , ai2 , . . , aiki }. i=1 Es bleibt also noch σ = σ1 ◦ · · · ◦ σt zu zeigen, wobei σi = (ai1 · · · aiki ) ein ki -Zyklus ist. Sei dazu b ∈ {1, . . , n}, so ist b = aij = σj−1 (ai1 ) f¨ ur ein 1 ≤ i ≤ t und ein 1 ≤ j ≤ ki . Wenden wir nun σ auf b an, so erhalten wir σ(b) = σ(aij ) = σj (ai1 ) = aij+1 , ai1 , falls j < ki , falls j = ki = σi (b).

E. Sind u, v ∈ α(U), dann existieren g, h ∈ U mit α(g) = u und α(h) = v. Da g · h ∈ U, gilt: u ∗ v = α(g) ∗ α(h) = α(g · h) ∈ α(U). Außerdem gilt g−1 ∈ U und somit: u−1 = α(g) −1 = α g−1 ∈ α(U). 28, daß α(U) eine Untergruppe von H ist. f. Seien g, h ∈ α−1 (V), so gilt α(g·h) = α(g)∗α(h) ∈ V, da V eine Untergruppe −1 ist. Also gilt g · h ∈ α−1 (V). Außerdem gilt α g−1 = α(g) ∈ V, wieder da −1 −1 V eine Untergruppe ist. Somit liegt auch g in α (V). 28, daß α−1 (V) eine Untergruppe von G ist. g. , da G eine Untergruppe von G ist.

Sie erzeugen die sogenannte Di¨edergruppe D2n = πn , σn ≤ Sn der Ordnung 2n. 61 55 im Boso kann man πn als Drehung des n-Ecks im Uhrzeigersinn um den Winkel 2π n genmaß auffassen, die die Ecke mit Nummer 1 auf die Ecke mit Nummer 2 abbildet, die Ecke mit Nummer 2 auf die Ecke mit Nummer 3 und so weiter. Ensprechend kann man σn als Achsenspiegelung interpretieren. Die Di¨edergruppe D2n ist dann die volle Symmetriegruppe des regul¨aren n-Ecks. Jedes Element entspricht entweder einer Drehung oder einer Spiegelung.

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Algebraische Strukturen [Lecture notes] by Thomas Keilen


by Jason
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